登入之后，五道大题赫然呈现在屏幕上，四个小时的倒计时已经开始跳动。

杨宇科的目光迅速扫过题目，大脑如同精密的仪器般飞速运转，瞬间锁定了每道题的解题关键。

第一题：设n为正整数，S为n元集合，A1,A2,…,Am为S的子集，满足对于任意1≤i,j≤m，i≠j，均有|Ai∩Aj|≤1。

证明：若|Ai|≥2，则m≤n(n-1)/2。

这道题考察的是组合数学中的极值问题，需要巧妙地运用鸽巢原理和反证法。

杨宇科的嘴角微微上扬，这道题对他来说毫无难度。

他迅速在草稿纸上写下解题思路，然后开始在电脑上敲击键盘，输入解答过程。

第二题：设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，f'；'；(x)在[0,1]上连续。

证明：存在ξ∈(0,1)，使得f'；'；(ξ)≥4∫(0,1)f(x)dx。

这道题是典型的微分中值定理的应用，需要构造辅助函数，并多次运用罗尔定理和拉格朗日中值定理。

杨宇科的眼神中闪过一丝精芒，这道题的难度比第一题略高，但也难不倒他。

他继续奋笔疾书，再将解题过程一步步地呈现在屏幕上。

第三题：设A为n阶实对称矩阵，且A的特征值均为正数。

证明：对于任意n维实向量x，均有x^T A x ＞ 0。

这道题考察的是线性代数中的二次型和正定矩阵的知识，需要熟练掌握矩阵的特征值和特征向量的性质。

杨宇科的眉头微微皱起，这道题的证明需要一些技巧，但他很快就找到了突破口。

他淡淡一笑，开始在电脑上输入证明过程，每一个步骤都严谨而清晰。

第四题：设f(x)在[a,b]上连续，且∫(a,b)f(x)dx=0。

证明：存在c∈(a,b)，使得∫(a,c)xf(x)dx=0。

这道题是积分中值定理的变形，需要巧妙地运用积分第一中值定理和积分第二中值定理。

杨宇科的眼神中闪过一丝狡黠，这道题的证明需要一些创造力，但他已经想到了一个绝妙的解法。

他迅速在草稿纸上写下关键步骤，然后开始在电脑上输入完整的证明过程。

第五题：设p(x)为n次实系数多项式，且p(x)在实数域上无实根。

证明：对于任意实数a，多项式p(x)+ap'；(x)在实数域上亦无实根。

这道题是代数学中的难题，需要运用多项式的导数和罗尔定理的推广形式。